Hipótesis de Riemann: posible demostración
Xia-Jin Li ha subido a arXiv un artículo titulado: "Una demostración de la hipótesis de Riemann". De no contener errores (ahora supongo que los matemáticos que saben de esto estarán revisando el artículo con lupa, a ver si contiene algún error) sería algo brutal, ya que con la conjetura de Poincaré es seguramente el problema más importante sin demostrar de las matemáticas. Para los que no sepáis que eso de la hipótesis de Riemann, intentaré explicarlo de manera que se entienda un poco. Tomad aire, que esto puede que sea un poco largo:
La función zeta de Riemann se define como:
Si, la función zeta de Riemann es una serie infinita, una suma desde n=1 hasta infinito, donde n es un número natural (1, 2, 3, 4… etc). Una función que se define como una suma infinita, pero que depende de una sola variable, s, que en principio puede ser un número real o complejo. Sí, hay una cosa llamada números complejos, de la cuales necesitamos saber algunas cosas:
- Básicamente, los números complejos surgen al intentar resolver ecuaciones que con los números reales no tienen solución. La más sencilla de estas ecuaciones es: x^2 = -1. Esto en los números reales no tiene solución, no hay número que elevado al cuadrado dé como resultado un número negativo. Pues bien, los matemáticos decidieron inventarse un nuevo número que resolviera esta ecuación, y le dieron el nombre de i (i^2=-1). Qué bien, ya podemos acceder a todas esas ecuaciones que antes no tenían solución.
- Los números complejos se pueden expresar de bastantes maneras, pero una que puede facilitar bastante (creo) su comprensión es la forma algebraica. Si llamamos a nuestro número complejo z, la forma algebraica de expresarlo es: z=a+i·b.
- Si los expresamos de la forma anterior, a "a" se le llama parte real de z, Re[z]; y a "b" se le llama parte imaginaria de z, Im[z]. Así podemos ver que los números reales son aquellos números complejos con Im[z]=0. A los números complejos con Re[z]=0 se les llama números imaginarios puros, por cierto.
- Una nota al márgen: si los números reales se representan como puntos en una recta, los números complejos se pueden representar como vectores (flechitas, que en este caso unen el orígen de coordenadas con un punto del plano) en un plano, cuyos ejes son la recta de los reales, Im[z]=0 (la horizontal, abscisa) y la recta Re[z]=0 como la vertical (ordenada). Ayuda a su comprensión, pero ahora representar funciones es tarea más complicada, ya que hablamos de representar funciones en un espacio de cuatro dimensiones. Hay maneras de hacerlo sin recurrir a las 4 dimensiones, pero para eso os leéis un buen libro de variable compleja, que os explicará estas cosas y más mucho mejor que yo (además, son la 1 de la mañana, y ya va habiendo sueño)
Bien, volvamos a nuestra suma infinita que es la función zeta de Riemann. Para empezar, esta se define sólo para números s con Re[s]>1. Ahora bien, ¿para qué valores de s se hace cero esta función? O dicho de manera un poco más corta: ¿cuáles son los ceros de la función zeta de Riemann? Buena pregunta, sin duda. Primero, veamos otra manera de expresar esta función un poco más manejable que la anterior: la llamada forma funcional de la función zeta de Riemann:
, donde:
es la llamada función gamma, y que es como el factorial (por ejemplo, factorial de 6=6!=1·2·3·4·5·6), pero definido para los reales positivos también (no para los negativos). De hecho, para los enteros positivos:
Volvamos a la función zeta de Riemann. Algunos de los ceros de esta función son bien conocidos: son los números enteros pares negativos, (-2, -4, -6, -8…) A estos se les llama los ceros triviales de la función zeta de Riemann. Pero, ¿y el resto de ceros? ¿Se puede decir algo sobre ellos? Pues bien, la hipótesis de Riemann habla precisamente de ellos, y ya sabemos lo suficiente para entender lo que dice:
"La parte real de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es igual a 1/2"
Hemos llegado a la meta. Ok, ¿y esto es importante? Bastante, ya que von Koch demostró a principios de siglo que esta función guarda gran relación con la distribución de los números primos (esos que sólo se pueden dividir por sí mismo y por la unidad), los cuáles parece que no pueden ser predecidos por alguna ley. Además, unos cuántos resultados matemáticos importantes se han obtenido en base a la suposición de que esta hipótesis es cierta, así que mejor que lo sea porque si no muchas cosas van a quedar en suspenso. Por métodos computacionales (calculando con un ordenata, vamos), se ha verificado para un grandísimo número de ceros, pero eso no es suficiente, dado que no importa a cuantos gazillones (recuerden: un gazillón es más que un frostillón pero menos que un julillón) de ceros lleguemos: el siguiente podría no verificar la hipótesis (a lo que se llama encontrar un contraejemplo), y nuestro gozo en un pozo, así que necesitamos una demostración que nos asegure que es cierta para cualquier cero, tan grande como queramos. Y esperemos que la de Xia-Jin Li sea cierta, y coonsiga demostrar uno de los problemas míticos sin resolver de las matemáticas.
Ale, se acabó la clase. En los enlaces que he ido dejando por el artículo tenéis más información, más rigurosa, y mejor escrita que la que os he puesto en este artículo. Y si queréis más sobre temas matemáticos curiosos, pasaros por Gaussianos, donde he visto la noticia, un blog dedicado a los quiebros y requiebros de las matemáticas, el mejor sobre el tema que conozco, y una delicia para los que nos gustan estas cosas tan raras (que sí, que a un físico experimental le pueden gustar las matemáticas)
(ah, gracias a la Wikipedia por las imágenes con las expresiones de las funciones y esas cosas)
